有限电阻网络的解法详析
在电子学和电路理论中，电阻网络的分析是一项基本而重要的技能。本文将通过几个具体的例子，详细介绍几种常见的电阻网络解法，包括等效替代、叠加原理、递推方法、对称性和注流法。这些方法不仅有助于解决实际问题，还能加深我们对电路原理的理解。
1. 等效替代
等效替代是一种常用的简化电路的方法，通过将复杂的电路结构转换为简单的等效电路，使得计算变得更加直观和简便。例如，当多个电阻以某种特定方式连接时，可以通过计算其等效电阻来简化问题。
例1：三个相同的金属圈两两正交地连成如图1所示的形状，若每个四分之一圆周金属丝的电阻为R时，测得A、B间电阻为RAB。现将A、B间的一段金属丝改换成另一段电阻为R'的四分之一圆周金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率P。
分析：首先，我们需要明确A、B间一段电阻为R'的四分之一圆周金属丝，可以等效为两段电阻为R的四分之一圆周金属丝并联。设替换后A、B间的总电阻为R''，则：
\[ R'' = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2} \]
接下来，我们需要计算A、B间的总电阻RAB。由于原来的电路是对称的，可以利用对称性简化计算。设A、B间未替换前的总电阻为RAB，替换后的总电阻为RAB'，则：
\[ RAB' = \frac{RAB \cdot \frac{R}{2}}{RAB + \frac{R}{2}} \]
给定电压U，总功率P可以通过公式 \( P = \frac{U^2}{RAB'} \) 计算得出。
2. 叠加原理
叠加原理是线性电路分析中的一种重要方法，适用于多电源电路。该原理指出，任何一个线性电路的响应（如电压或电流）可以看作是各个独立电源单独作用时产生的响应的代数和。
例2：如图2所示电路中，包含有50只不同的安培表 \( A_1, A_2, \ldots, A_{50} \)，以及50只相同规格的伏特表 \( V_1, V_2, \ldots, V_{50} \)。
其中第一只伏特表 \( V_1 \) 的示数 \( V_1 = 10V \)，第一只安培表 \( A_1 \) 的示数 \( I_1 = 10mA \)，第二只安培表 \( A_2 \) 的示数 \( I_2 = 9.2mA \)。试求所有50只伏特表的示数之和是多少？
分析：每只伏特表的电阻 \( R_V \) 可以认为是已知的。从电路左端逐步向右推，可以得到一系列的方程：
\[ V_1 = I_1 \cdot R_V \]
\[ V_2 = (I_1 + I_2) \cdot R_V \]
\[ V_3 = (I_1 + I_2 + I_3) \cdot R_V \]
\[ \vdots \]
\[ V_{50} = (I_1 + I_2 + \cdots + I_{50}) \cdot R_V \]
以上各式相加得：
\[ V_1 + V_2 + \cdots + V_{50} = (I_1 + (I_1 + I_2) + (I_1 + I_2 + I_3) + \cdots + (I_1 + I_2 + \cdots + I_{50})) \cdot R_V \]
整理后得：
\[ V_1 + V_2 + \cdots + V_{50} = (50I_1 + 49I_2 + 48I_3 + \cdots + I_{50}) \cdot R_V \]
3. 递推方法
递推方法适用于具有重复结构的电路，通过逐步推理，最终求出所需的参数。这种方法在处理无限或有限但规律性强的电路时尤为有效。
例3：如图3所示，已知 \( R_1 = 10\Omega \)， \( R_2 = 20\Omega \)，电源电压为60V，流过 \( R_1 \) 的电流为多少？
分析：首先，我们需要计算右端的单位网络电阻 \( R_{unit} \)。假设右端的网络电阻为 \( R_n \)，则：
\[ R_{unit} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_n}{R_2 + R_n} \]
往左推得：
\[ R_n = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_{n-1}}{R_2 + R_{n-1}} \]
整个网络的电阻 \( R_{total} \) 为：
\[ R_{total} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_{unit}}{R_2 + R_{unit}} \]
总电流 \( I_{total} \) 为：
\[ I_{total} = \frac{60V}{R_{total}} \]
求 \( R_1 \) 中的电流 \( I_1 \)，可由左逐步向右推：
\[ I_1 = I_{total} \cdot \frac{R_2 + R_{unit}}{R_2 + R_{unit} + R_1} \]
4. 对称性
对称性是电路分析中一个非常有用的工具，特别是在处理复杂且对称的电路时。通过对称性，我们可以简化电路结构，从而更容易地求解问题。
例4：如图4（甲）所示是由9个阻值均为4Ω的电阻连成的电路，现在A、B两点之间加上8V的电压，则流过接在E、B两点之间的电阻的电流 \( I_1 \) 为多少？流过接在E、D两点之间电阻的电流 \( I_2 \) 为多少？
分析：这是一个对称电路，在不改变通过各电阻电流的前提下，可以拆开某一节点，或连接部分节点，对电路进行等效变换。
解法1：拆开节点E，如图4（乙）所示。通过E、B之间电阻的电流为 \( I_1 \)，则：
\[ I_1 = \frac{8V}{4\Omega + 4\Omega} = 1A \]
又因为电路对称，所以：
\[ I_2 = I_1 = 1A \]
解法2：将C、D间的电阻一分为二，由于电路的对称性，可将F、G、E三点连在一起，如图4（丙）所示。设F、G、E节点与D之间的总电阻为 \( R_{FGED} \)，则：
\[ R_{FGED} = \frac{4\Omega \cdot 4\Omega}{4\Omega + 4\Omega} = 2\Omega \]
解得：
\[ I_1 = \frac{8V}{4\Omega + 2\Omega} = 1A \]
\[ I_2 = I_1 = 1A \]
5. 注流法
注流法是一种基于电流守恒定律的方法，通过假设注入某个节点的电流，逐步推导出各支路的电流，从而求解电路问题。
例5：图5（甲）是由均匀电阻丝焊接成的框架电路，框架由三个正方形组成，正方形每边的电阻为r，求框架A、E两点间的电阻。
分析：设有电流I从A点流入，从E点流出。由于电路结构对称，则电流分布也对称，如图5乙所示。
对点H，有：
\[ I_H = \frac{I}{2} \]
即：
\[ I_H = \frac{I}{2} \]
对AC间电压有：
\[ V_{AC} = I \cdot r \]
即：
\[ V_{AC} = I \cdot r \]
联立以上两式解得：
\[ R_{AE} = \frac{V_{AC}}{I} = \frac{I \cdot r}{I} = r \]
所以：
\[ R_{AE} = \frac{5r}{6} \]
练习
1. 如图6所示的电路， \( R_1 = 10\Omega \)， \( R_2 = 20\Omega \)，电源电压U恒定，则电阻 \( R_2 \) 所消耗的电功率与电路的总功率之比等于多少？
分析：首先，我们需要计算电路的总电阻 \( R_{total} \)：
\[ R_{total} = R_1 + R_2 = 10\Omega + 20\Omega = 30\Omega \]
总电流 \( I_{total} \) 为：
\[ I_{total} = \frac{U}{R_{total}} = \frac{U}{30\Omega} \]
电阻 \( R_2 \) 上的电压 \( V_2 \) 为：
\[ V_2 = I_{total} \cdot R_2 = \frac{U}{30\Omega} \cdot 20\Omega = \frac{2U}{3} \]
电阻 \( R_2 \) 所消耗的电功率 \( P_2 \) 为：
\[ P_2 = \frac{V_2^2}{R_2} = \frac{\left(\frac{2U}{3}\right)^2}{20\Omega} = \frac{4U^2}{9 \cdot 20\Omega} = \frac{U^2}{45\Omega} \]
电路的总功率 \( P_{total} \) 为：
\[ P_{total} = \frac{U^2}{R_{total}} = \frac{U^2}{30\Omega} \]
因此，电阻 \( R_2 \) 所消耗的电功率与电路的总功率之比为：
\[ \frac{P_2}{P_{total}} = \frac{\frac{U^2}{45\Omega}}{\frac{U^2}{30\Omega}} = \frac{30\Omega}{45\Omega} = \frac{2}{3} \]
通过上述几个例子，我们可以看到，等效替代、叠加原理、递推方法、对称性和注流法在电阻网络分析中各有其独特的优势和适用场景。掌握这些方法，不仅可以帮助我们更高效地解决电路问题，还能提升我们对电路原理的深入理解。希望本文能为读者提供有益的参考和启发。
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